H- 1015 Budapest, Batthyány utca 31. 1/12.

Egy kétdimenziós síkkitöltő formációt mutatok be Önöknek, amelyet Spidron-nak neveztem el. Legjobb tudomásom szerint ez az alakzat újdonság.
Az alábbiakban megismerhetik néhány tulajdonságát, amely többek között alkalmassá teszi különleges, háromdimenziós, dinamikusan deformálható és transzformálható alakzatok létrehozására és térkitöltő poliéderek konstruálására.

Spidron

A Spidron, mint láttuk, egy középpontosan szimmetrikus sík formáció. A Spidron átdarabolásával létrehozható egy olyan síkbeli forma, amely tükörszimmetrikus. Ezt alakja miatt Hornflake-nek neveztem el.

 

Hornflake

Mindkét forma ugyanabból az alapformából származtatható, melyet nevezzünk Semispidron-nak.
A Semispidron-t egyenlő oldalú háromszögek (60° , 60° , 60° – a, a, a,) és egyenlőszárú háromszögek (30° , 120° , 30° – a, a/sqrt3, a/sqrt3) végtelen sora alkotja. Minden egyenlőoldalú háromszög egy vele egyenlő területű egyenlőszárú háromszöghöz és egy nála háromszor kisebb területű egyenlőszárú háromszöghöz kapcsolódik. A hasonló háromszögek területei mértani sorozatot alkotnak. Ha az első és legnagyobb egyenlőoldalú háromszög területe 1, akkor az összes további, nála kisebb háromszög területeinek összege szintén 1, így a mértani sor összege a 2-höz tart.

 

A Semispidron egyenlőoldalú és egyenlőszárú háromszögek sorozatából áll

 

A Spidronkar mozgása
dr. Szilassi Lajos által készített animáció

­ A lap tetejére

A Semispidron-okból 180° fokos elforgatással létrehozott forma, a Spidron egy kivétellel, amely 120°-os, 150°-os és 210°-os szögeivel az összeilleszthetoséget biztosítja. A Semispidron oldalai egy formáción belül is találnak megfelelő párokat. Ezek összeragasztásakor egy kúppalást felülete adódik ki. Két illetve több, csúcsban találkozó Semispidron egyre nagyobb nyílásszögű kúppalástot eredményez. Ha az alkotóelemek száma 6, akkor ez a szög éppen 180°-os, tehát kiterül a síkban. Ha ennél több, akkor különböző "gyűrt" felületek jönnek létre.

 

Spidronokkal lefedett sík

Különleges tulajdonsága ennek a síklefedésnek, hogy elvehetünk elemeket illetve hozzáragaszthatunk elemeket úgy, hogy a sík folyamatossága nem sérül, mindössze görbületek keletkeznek rajta.

­ A lap tetejére

Spidron-okkal lefedett sík, melyből egy illetve (a harmadik képen) két Spidron-elemet kivágtunk
és a megfelelő éleket újra összeragasztottuk.
Ebből ered a görbület.

A Spidron-okkal lefedett és a külső, valamint a belső élek mentén meghajtott felületek egy különös, több középpont körül örvényszerűen elcsavarodó reliefet alkotnak, amely egy bizonyos határértékig harmonikaszerüen összenyomható, úgy, hogy az élek és a szimmetriatulajdonságok változatlanul megmaradnak. Ennek a határértéknek a nagyságát dr. Szilassi Lajos szerint a legnagyobb hatszög(ek) külső élének az alapsíkkal (ami az eredeti síkot jelenti, amelyből a deformáció elindult) bezárt szögével határozható meg. Számításai szerint, ha ez a szög eléri a 60°-ot, akkor a lapok összeérnek, így a deformáció tovább nem folytatható.

­ A lap tetejére

Spidron relief

 

(A Kiss Gergő által kidolgozott 1. animáció elind

(A Kiss Gergő által kidolgozott 2. animáció elindítása)ítása)

dr. Szilassi Lajos matematikailag kidolgozott Spidron-modellje

 

A Fészkek középpontja egyre közelebb kerül egymáshoz, miközben a relief plasztikája azaz a vertikális kiterjedése növekszik. A kiemelkedések magasabbakká és a völgyek mélyebbekké válnak.

Huszonnégy egybevágó Spidron-ból zárt térbeli forma hozható létre, amelyet Spidrohedron-nak neveztem el. Ez a test tükörszimmetrikus párjaival felváltva hézagmentesen kitölti a teret. Minden Spidrohedront nyolc, általam Fészek-nek nevezett formáció határol. A Fészkek spirálisan csavarodó domborzatú, területüket tekintve egy mértani sorozat alapján végtelenül kisebbedő háromszögek rendszeréből alakul ki.

A későbbiekben látni fogjuk, hogy a Fészkek végtelen változatban előfordulhatnak, de két különleges esetet érdemes kiemelni. Ezekre jellemző, hogy vagy az óramutató járásával egyező irányban vagy azzal ellentétesen kanyarodó örvény mentén jönnek létre. Ha egy Spidrohedron csupa azonos irányultságú Fészek-ből áll, azt Spidrohedron-nak hívom. A csupa balos legyen Spidrohedron B, a csupa jobbosból álló pedig legyen Spidrohedron J.
Minden Spidrohedron J-t nyolc egybevágó Spidrohedron B vesz körül, ugyanakkor az is igaz, hogy minden Spidrohedron B-t nyolc egybevágó Spidrohedron J. Ilymódon ezzel a kétféle elemmel a teret hézagmentesen ki tudjuk tölteni.

Fölmerült a kérdés, hogy van-e olyan változata a Spidrohedron-oknak, amely önmagában képes hézagmentesen kitölteni a teret.
Igen, találhatunk ilyen formációt. Ezt úgy tudjuk létrehozni, ha a Spidrohedron-unkat alkotó nyolc Fészek irányultságát úgy választjuk, hogy minden balos csavarodású fészket (Fészek B) 3 jobbos (Fészek J) vesz körül. Összességében ekkor 4 jobbos és 4 balos Fészek határolja a formációt.

Ez a térkitöltő elem már önmaga másolataival képes kitölteni a teret.

 

Appendix 1 Eddig, nem elítélhető módon, úgy gondoltam, hogy ezt a formációt más - a Spidron-tól eltérő elemek, úgynevezett Hornflake-ek alkotják, ezért Hornhedron-nak neveztem el. Jobban megvizsgálva azonban e testet nyilvánvalóvá válik, hogy a Hornhedron-t borító háromszögek rendszeréból ugyanúgy kiválaszthatjuk azokat, amelyek az eredeti Spidron-unkat alkotják. A térkitöltő elemre tekintve szembeötlőbb mégis ez a duplaszarv szerű alakzat, ezért szerencsésnek találom a Hornhedron elnevezés megtartását. Főleg azért érzem ezt tanácsosnak, mert a későbbiekben megismert végtelen variáció közül érdemes a különlegeseknek megjegyezhető neveket adni.

 

­ A lap tetejére

Spidrohedron

A Spidronrendszer Fészke-iből nyolc darabot felhasználva különböző héjszerkezetek építhetők. Olyanok, amelyek legkülső csúcsain (ebből 6-ot találhatunk) 4 illetve (ebből pedig 12-t) 2 Fészek élei találkoznak. A Fészkek külső élei egymással 90°-os szöget zárnak be és így pontosan ráhelyezkednek egy kocka éleire. Ennek köszönhető, hogy alkalmasak a tér hézagmentes kitöltésére.

Két Fészek illeszkedése.

 

Egy Fészekkel kettévágott kocka (félkocka) hálója.
Az ábrán jól látszik, hogy a Fészek egy, a kocka éleire állított szabályos hatszögből alakul ki.

 

Egy Fészekkel kettévágott egész kocka hálója.

Fészkek rendszere a kockarácsban.

 

A legkisebb elemeket az ábrák könnyebb megrajzolhatósága és a makettek elkészíthetősége céljából egyszerűen kihagytuk, ezért láthatóak a Fészkek közepén nyílások.

Hornhedronok, melyekre jellemző az őket alkotó tükörszimmetrikus Hornflake.

Térkitöltés egymással tükörszimmetrikus Spidrohedron-okkal

 

Appendix 2 Itt felmerül egy érdekes kérdés, amelyet közreadok, hátha valakinek van rá válasza: Meghatározható-e hogy mik azok az ismérvek, amelyek eldöntik, hogy egy Fészek J-k és Fészek B-k ből ősszeállított térelem önmaga másolataival hézagmentesen kitölti a teret? Azt ugye láttuk, hogy a Hornhedron esetében minden Fészek J-t 3 db. Fészek B határol, de vajon nem helyezkedhet-e el 4 db Fészek J egymás mellett és a test tulsó oldalán ugyanígy 4 db. Fészek B? Más, a fentiektől eltérő összeállítású térkitöltő Spidrohedron származék van-e, amely önmaga másolataival térkitöltő?

Fészeköv vagy Spidronöv

A Spidronöv az A, B, C, D, E ,F és az A’, B’, C’, D’, E’, F’ pontok között helyezkedik el.

Spidronöv térben deformált változata.

A Spidronöv vagy Fészeköv egy gyűrűszerű forma, amely egy csúcsára állított „P” testközéppontú kocka A, B, C, D, E, F csúcsai és a Fészeköv belső, A’, B’, C’, D’, E’, és F’ pontjai között helyezkedik el. A G és a H a kocka testátlójának végpontjai. Ez az átló a Fészeköv háromfogású forgási szimmetriatengelye. A Fészekövek irányultsága nem határozza meg a nála nagyobb Fészekövek csavarodási irányát.

Ennek a Fészek-nek az "őrzött" kódja: 0101010101010101 ...

­ A lap tetejére

Az Emlékező tér
(Reminiscent Medium)

Az egyes alfészkek jobbos illetve balos irányultsága megfeleltehetők a kettes számrendszer 0-ás és 1-es számának, így egy SH 8 db számot képes reprezentálni. Ha SH-kból kitöltjük hézagmentesen a teret és ezek alapesetben valódi Spidrohedron J-k illetve Spidrohedron B-k, ezentúl bevezetjük a "tartam" kategóriáját, akkor egy olyan teret kapunk, amelyben - és amellyel(!) - a lezajló események irányát, intenzitását és tartamát a Fészkek "sorsváltozásaival" nemcsak leírhatjuk, hanem, a mindenkori állapotából, mint időmetszetből az egész rendszer - és a benne zajló folyamatok korábbi sorsára vonatkozó, egész mélyreható következtetéseket vonhatunk le.Ezt úgy képzelem el, hogy parányi Spidrohedron-okkal, – melyek a tér "P" pontjait jelölik – hézagmentesen kitöltött térben egy történés (pl. egy labda feldobása) a történés elemi helyszínein a változás intenzitása függvényében nyomot hagy. Ez a nyom lehet a helyi sebesség nagyságának megfelelő mértékű átfordulása a Spidronöveknek. Ha pl. a tér egy pontján x=1, y=1, z=1 irányból az origó felé elmozdul a labda Vx sebességgel, akkor a P (x,y,z) pontok (SH-k) közül a P0(1,1,1) pontban az SH V1 nek megfelelő Fészeköv-e(i)nek iránya fordul az ellenkezőjébe, míg P1(0,0,0) pontban V2 nagyságának megfelelő Fészeköv-é. Így látható, hogy a labda merre haladt és azt is, hogy lassult-e (ha V2<V1) vagy gyorsult-e (ha V2>V1). Hogy a mozgás honnan indult, azt a Px indexe jelzi. Ezt a Spidronok-ból kialakított "sorsérzékeny" SH-rendszert Emlékező tér-nek neveztem el.

A rendszer "rugalmasság"-át reprezentálhatja a változás tartama, azaz az emlékezet tartama.

Appendix 3 Nem kell nagy fantázia ahhoz, hogy erre a rendszerre megpróbáljuk "rátelepíteni" az agyműködésről tudott vagy más komplex folyamatokat. Érdekesnek tűnik például Emlékező Terekben emlékező tereket mozgatni és figyelni az egyes rendszerek egymásrahatását, stb. Két homeomorf állapotú, egyidőben és azonos helyen elhelyezkedő Emlékező Tér egymáshoz képest történő elmozdulása, és az eredeti állapotba való visszatérése, esetleges pulzálása is izgalmas adatsorok megszerzéséhez vezethet.

 

­ A lap tetejére

A Spidron tulajdoságainak megfigyelése és a vele folytatott kisérletek során a következő formákat sikerült létrehozni

Több (nem klasszikus) szabályos test* kialakítható Spidron-okból alkotott háló segítségével

* A klasszikus (plátoni) szabályos testeket egybevágó szabályos síkidomok határolják. A szabályos testek száma öt: a Tetraéder, az Oktaéder, a Kocka, a Dodekaéder és az Ikozaéder. Ezeknek rendre 6, 12, 12, 30, és 30 éle van. Ezekből az élekből rendre 3, 3, 4, 3 és 5 fut össze minden csúcsba. Amint látható a szabályos testek csúcsainak száma - rendre: 4, 6, 8, 20 és 12 - a határoló szabályos síkidomok: a háromszög, a négyszög és az ötszög alapú piramisok számából ered.

Új formák 2, 3 és 4 Spidronfészekből

SpidroStella
2 db Lapított fészekből, azaz Spidron hatszögből

 

SpidroTrihedron
3 db Spidronfészek-ből

SpidroTetrahedron
4 db Spidronfészek-ből (Paul Gailiunas ötlete nyomán)

Ez a forma térkitöltő, azaz saját hasonmásaival hézagmentesen kitölti a teret.

---

­ A lap tetejére

További formatanulmányok Spidron-okból:

Spidroquadron fészek

Spidron MoebiuSimplex – Dávid csillag-Moebius

 

Spidron Moebius – két fészekövből
(A piros nyíl a felületen lévő második nyílást jelöli)

 

MetaPolihedron
(Háromágú Spiramidokból épített forma három nézetből)
Spiramidnak nevezem azokat a konstrukciókat, amelyek Semispidronokból készített szabályos poliéder alapú lépcsős szerkezetek. Ilyeneket bizosan lehet készíteni 3, 4 és és 5 szögekből.

Négyzetre emelt Spiramid

SpidroInfinit

---

---

Első nyilvános bemutatása a 12. Jeruzsálemi Kristálynövesztési Világkongresszuson volt 1998-ban.

Kérem, hogy megjegyzéseit küldje el az edan@option.hu elektronikus levélcímre!

Külön köszönettel tartozom az itt felsorolt barátaimnak és munkatársaimnak akik e tanulmány létrejöttében sokat segtettek:

Dr. Hartmann Ervin professzor, Dr. Cristiana Grigorescu, ifjabb dr. Böröczky Károly, Dr. Nyikos Lajos, Halász Gábor,
Kőszegi Péter, Szigeti Ildikó, Jerry Gray, Rubik Ernő,
Atara Horowitz, Laczkovich Miklós, Szekeres Andrea, Erdély Mátyás, Herner Dániel
Bérczy Szaniszló, dr. Szilassi Lajos, Paul Gailiunas, Kabai Sándor és Dr. Molnár Emil professzor

 

Formatanulmányok őseink művészetéből, a neolitikumból

The Math Forum @ Drexel have chosen the English, shortened version of this sit